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Faye Euler's blog

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OpenGL入门学习 教程 (五)三维的空间变换  

2011-10-24 16:11:57|  分类: OpenGL |  标签: |举报 |字号 订阅

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在前面绘制几何图形的时候,大家是否觉得我们绘图的范围太狭隘了呢?坐标只能从-1到1,还只能是X轴向右,Y轴向上,Z轴垂直屏幕。这些限制给我们的绘图带来了很多不便。

我们生活在一个三维的世界——如果要观察一个物体,我们可以:
1、从不同的位置去观察它。(视图变换)
2、移动或者旋转它,当然了,如果它只是计算机里面的物体,我们还可以放大或缩小它。(模型变换)
3、如果把物体画下来,我们可以选择:是否需要一种“近大远小”的透视效果。另外,我们可能只希望看到物体的一部分,而不是全部(剪裁)。(投影变换)
4、我们可能希望把整个看到的图形画下来,但它只占据纸张的一部分,而不是全部。(视口变换)
这些,都可以在OpenGL中实现。

OpenGL变换实际上是通过矩阵乘法来实现。无论是移动、旋转还是缩放大小,都是通过在当前矩阵的基础上乘以一个新的矩阵来达到目的。关于矩阵的知识,这里不详细介绍,有兴趣的朋友可以看看线性代数(大学生的话多半应该学过的)。
OpenGL可以在最底层直接操作矩阵,不过作为初学,这样做的意义并不大。这里就不做介绍了。

1、模型变换和视图变换
从“相对移动”的观点来看,改变观察点的位置与方向和改变物体本身的位置与方向具有等效性。在OpenGL中,实现这两种功能甚至使用的是同样的函数。
由于模型和视图的变换都通过矩阵运算来实现,在进行变换前,应先设置当前操作的矩阵为“模型视图矩阵”。设置的方法是以GL_MODELVIEW为参数调用glMatrixMode函数,像这样:
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
通常,我们需要在进行变换前把当前矩阵设置为单位矩阵。这也只需要一行代码:
glLoadIdentity();

然后,就可以进行模型变换和视图变换了。进行模型和视图变换,主要涉及到三个函数:
glTranslate*,把当前矩阵和一个表示移动物体的矩阵相乘。三个参数分别表示了在三个坐标上的位移值。
glRotate*,把当前矩阵和一个表示旋转物体的矩阵相乘。物体将绕着(0,0,0)到(x,y,z)的直线以逆时针旋转,参数angle表示旋转的角度。
glScale*,把当前矩阵和一个表示缩放物体的矩阵相乘。x,y,z分别表示在该方向上的缩放比例。

注意我都是说“与XX相乘”,而不是直接说“这个函数就是旋转”或者“这个函数就是移动”,这是有原因的,马上就会讲到。
假设当前矩阵为单位矩阵,然后先乘以一个表示旋转的矩阵R,再乘以一个表示移动的矩阵T,最后得到的矩阵再乘上每一个顶点的坐标矩阵v。所以,经过变换得到的顶点坐标就是((RT)v)。由于矩阵乘法的结合率,((RT)v) = (R(Tv)),换句话说,实际上是先进行移动,然后进行旋转。即:实际变换的顺序与代码中写的顺序是相反的。由于“先移动后旋转”和“先旋转后移动”得到的结果很可能不同,初学的时候需要特别注意这一点。
OpenGL之所以这样设计,是为了得到更高的效率。但在绘制复杂的三维图形时,如果每次都去考虑如何把变换倒过来,也是很痛苦的事情。这里介绍另一种思路,可以让代码看起来更自然(写出的代码其实完全一样,只是考虑问题时用的方法不同了)。
让我们想象,坐标并不是固定不变的。旋转的时候,坐标系统随着物体旋转。移动的时候,坐标系统随着物体移动。如此一来,就不需要考虑代码的顺序反转的问题了。

以上都是针对改变物体的位置和方向来介绍的。如果要改变观察点的位置,除了配合使用glRotate*和glTranslate*函数以外,还可以使用这个函数:gluLookAt。它的参数比较多,前三个参数表示了观察点的位置,中间三个参数表示了观察目标的位置,最后三个参数代表从(0,0,0)到(x,y,z)的直线,它表示了观察者认为的“上”方向。

2、投影变换
投影变换就是定义一个可视空间,可视空间以外的物体不会被绘制到屏幕上。(注意,从现在起,坐标可以不再是-1.0到1.0了!)
OpenGL支持两种类型的投影变换,即透视投影和正投影。投影也是使用矩阵来实现的。如果需要操作投影矩阵,需要以GL_PROJECTION为参数调用glMatrixMode函数。
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
通常,我们需要在进行变换前把当前矩阵设置为单位矩阵。
glLoadIdentity();

透视投影所产生的结果类似于照片,有近大远小的效果,比如在火车头内向前照一个铁轨的照片,两条铁轨似乎在远处相交了。
使用glFrustum函数可以将当前的可视空间设置为透视投影空间。其参数的意义如下图:

OpenGL入门学习 教程 (五)三维的空间变换 - Faye - Fayes blog
声明:该图片来自www.opengl.org,该图片是《OpenGL编程指南》一书的附图,由于该书的旧版(第一版,1994年)已经流传于网络,我希望没有触及到版权问题。
也可以使用更常用的gluPerspective函数。其参数的意义如下图:
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声明:该图片来自www.opengl.org,该图片是《OpenGL编程指南》一书的附图,由于该书的旧版(第一版,1994年)已经流传于网络,我希望没有触及到版权问题。

正投影相当于在无限远处观察得到的结果,它只是一种理想状态。但对于计算机来说,使用正投影有可能获得更好的运行速度。
使用glOrtho函数可以将当前的可视空间设置为正投影空间。其参数的意义如下图
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声明:该图片来自www.opengl.org,该图片是《OpenGL编程指南》一书的附图,由于该书的旧版(第一版,1994年)已经流传于网络,我希望没有触及到版权问题。

如果绘制的图形空间本身就是二维的,可以使用gluOrtho2D。他的使用类似于glOrgho。
3、视口变换
当一切工作已经就绪,只需要把像素绘制到屏幕上了。这时候还剩最后一个问题:应该把像素绘制到窗口的哪个区域呢?通常情况下,默认是完整的填充整个窗口,但我们完全可以只填充一半。(即:把整个图象填充到一半的窗口内)
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使用glViewport来定义视口。其中前两个参数定义了视口的左下脚(0,0表示最左下方),后两个参数分别是宽度和高度。

4、操作矩阵堆栈
介于是入门教程,先简单介绍一下堆栈。你可以把堆栈想象成一叠盘子。开始的时候一个盘子也没有,你可以一个一个往上放,也可以一个一个取下来。每次取下的,都是最后一次被放上去的盘子。通常,在计算机实现堆栈时,堆栈的容量是有限的,如果盘子过多,就会出错。当然,如果没有盘子了,再要求取一个盘子,也会出错。
我们在进行矩阵操作时,有可能需要先保存某个矩阵,过一段时间再恢复它。当我们需要保存时,调用glPushMatrix函数,它相当于把矩阵(相当于盘子)放到堆栈上。当需要恢复最近一次的保存时,调用glPopMatrix函数,它相当于把矩阵从堆栈上取下。OpenGL规定堆栈的容量至少可以容纳32个矩阵,某些OpenGL实现中,堆栈的容量实际上超过了32个。因此不必过于担心矩阵的容量问题。
通常,用这种先保存后恢复的措施,比先变换再逆变换要更方便,更快速。
注意:模型视图矩阵和投影矩阵都有相应的堆栈。使用glMatrixMode来指定当前操作的究竟是模型视图矩阵还是投影矩阵。
5、综合举例
好了,视图变换的入门知识差不多就讲完了。但我们不能就这样结束。因为本次课程的内容实在过于枯燥,如果分别举例,可能效果不佳。我只好综合的讲一个例子,算是给大家一个参考。至于实际的掌握,还要靠大家自己花功夫。闲话少说,现在进入正题。

我们要制作的是一个三维场景,包括了太阳、地球和月亮。假定一年有12个月,每个月30天。每年,地球绕着太阳转一圈。每个月,月亮围着地球转一圈。即一年有360天。现在给出日期的编号(0~359),要求绘制出太阳、地球、月亮的相对位置示意图。(这是为了编程方便才这样设计的。如果需要制作更现实的情况,那也只是一些数值处理而已,与OpenGL关系不大)
首先,让我们认定这三个天体都是球形,且他们的运动轨迹处于同一水平面,建立以下坐标系:太阳的中心为原点,天体轨迹所在的平面表示了X轴与Y轴决定的平面,且每年第一天,地球在X轴正方向上,月亮在地球的正X轴方向。
下一步是确立可视空间。注意:太阳的半径要比太阳到地球的距离短得多。如果我们直接使用天文观测得到的长度比例,则当整个窗口表示地球轨道大小时,太阳的大小将被忽略。因此,我们只能成倍的放大几个天体的半径,以适应我们观察的需要。(百度一下,得到太阳、地球、月亮的大致半径分别是:696000km, 6378km,1738km。地球到太阳的距离约为1.5亿km=150000000km,月亮到地球的距离约为380000km。)
让我们假想一些数据,将三个天体的半径分别“修改”为:69600000(放大100倍),15945000(放大2500倍),4345000(放大5000倍)。将地球到月亮的距离“修改”为38000000(放大100倍)。地球到太阳的距离保持不变。
为了让地球和月亮在离我们很近时,我们仍然不需要变换观察点和观察方向就可以观察它们,我们把观察点放在这个位置:(0, -200000000, 0) ——因为地球轨道半径为150000000,咱们就凑个整,取-200000000就可以了。观察目标设置为原点(即太阳中心),选择Z轴正方向作为 “上”方。当然我们还可以把观察点往“上”方移动一些,得到(0, -200000000, 200000000),这样可以得到45度角的俯视效果。
为了得到透视效果,我们使用gluPerspective来设置可视空间。假定可视角为60度(如果调试时发现该角度不合适,可修改之。我在最后选择的数值是75。),高宽比为1.0。最近可视距离为1.0,最远可视距离为200000000*2=400000000。即:gluPerspective (60, 1, 1, 400000000);
现在我们来看看如何绘制这三个天体。
为了简单起见,我们把三个天体都想象成规则的球体。而我们所使用的glut实用工具中,正好就有一个绘制球体的现成函数:glutSolidSphere,这个函数在“原点”绘制出一个球体。由于坐标是可以通过glTranslate*和glRotate*两个函数进行随意变换的,所以我们就可以在任意位置绘制球体了。函数有三个参数:第一个参数表示球体的半径,后两个参数代表了“面”的数目,简单点说就是球体的精确程度,数值越大越精确,当然代价就是速度越缓慢。这里我们只是简单的设置后两个参数为20。
太阳在坐标原点,所以不需要经过任何变换,直接绘制就可以了。
地球则要复杂一点,需要变换坐标。由于今年已经经过的天数已知为day,则地球转过的角度为day/一年的天数*360度。前面已经假定每年都是360天,因此地球转过的角度恰好为day。所以可以通过下面的代码来解决:
glRotatef(day, 0, 0, -1);
/* 注意地球公转是“自西向东”的,因此是饶着Z轴负方向进行逆时针旋转 */
glTranslatef(地球轨道半径, 0, 0);
glutSolidSphere(地球半径, 20, 20);
月亮是最复杂的。因为它不仅要绕地球转,还要随着地球绕太阳转。但如果我们选择地球作为参考,则月亮进行的运动就是一个简单的圆周运动了。如果我们先绘制地球,再绘制月亮,则只需要进行与地球类似的变换:
glRotatef(月亮旋转的角度, 0, 0, -1);
glTranslatef(月亮轨道半径, 0, 0);
glutSolidSphere(月亮半径, 20, 20);
但这个“月亮旋转的角度”,并不能简单的理解为day/一个月的天数30*360度。因为我们在绘制地球时,这个坐标已经是旋转过的。现在的旋转是在以前的基础上进行旋转,因此还需要处理这个“差值”。我们可以写成:day/30*360 - day,即减去原来已经转过的角度。这只是一种简单的处理,当然也可以在绘制地球前用glPushMatrix保存矩阵,绘制地球后用glPopMatrix恢复矩阵。再设计一个跟地球位置无关的月亮位置公式,来绘制月亮。通常后一种方法比前一种要好,因为浮点的运算是不精确的,即是说我们计算地球本身的位置就是不精确的。拿这个不精确的数去计算月亮的位置,会导致“不精确”的成分累积,过多的“不精确”会造成错误。我们这个小程序没有去考虑这个,但并不是说这个问题不重要。
还有一个需要注意的细节:OpenGL把三维坐标中的物体绘制到二维屏幕,绘制的顺序是按照代码的顺序来进行的。因此后绘制的物体会遮住先绘制的物体,即使后绘制的物体在先绘制的物体的“后面”也是如此。使用深度测试可以解决这一问题。使用的方法是:1、以GL_DEPTH_TEST为参数调用glEnable函数,启动深度测试。2、在必要时(通常是每次绘制画面开始时),清空深度缓冲,即:glClear(GL_DEPTH_BUFFER_BIT);其中,glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT)与glClear(GL_DEPTH_BUFFER_BIT)可以合并写为:
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
且后者的运行速度可能比前者快。
现在我们来看看如何绘制这三个天体。
为了简单起见,我们把三个天体都想象成规则的球体。而我们所使用的glut实用工具中,正好就有一个绘制球体的现成函数:glutSolidSphere,这个函数在“原点”绘制出一个球体。由于坐标是可以通过glTranslate*和glRotate*两个函数进行随意变换的,所以我们就可以在任意位置绘制球体了。函数有三个参数:第一个参数表示球体的半径,后两个参数代表了“面”的数目,简单点说就是球体的精确程度,数值越大越精确,当然代价就是速度越缓慢。这里我们只是简单的设置后两个参数为20。
太阳在坐标原点,所以不需要经过任何变换,直接绘制就可以了。
地球则要复杂一点,需要变换坐标。由于今年已经经过的天数已知为day,则地球转过的角度为day/一年的天数*360度。前面已经假定每年都是360天,因此地球转过的角度恰好为day。所以可以通过下面的代码来解决:
glRotatef(day, 0, 0, -1);
/* 注意地球公转是“自西向东”的,因此是饶着Z轴负方向进行逆时针旋转 */
glTranslatef(地球轨道半径, 0, 0);
glutSolidSphere(地球半径, 20, 20);
月亮是最复杂的。因为它不仅要绕地球转,还要随着地球绕太阳转。但如果我们选择地球作为参考,则月亮进行的运动就是一个简单的圆周运动了。如果我们先绘制地球,再绘制月亮,则只需要进行与地球类似的变换:
glRotatef(月亮旋转的角度, 0, 0, -1);
glTranslatef(月亮轨道半径, 0, 0);
glutSolidSphere(月亮半径, 20, 20);
但这个“月亮旋转的角度”,并不能简单的理解为day/一个月的天数30*360度。因为我们在绘制地球时,这个坐标已经是旋转过的。现在的旋转是在以前的基础上进行旋转,因此还需要处理这个“差值”。我们可以写成:day/30*360 - day,即减去原来已经转过的角度。这只是一种简单的处理,当然也可以在绘制地球前用glPushMatrix保存矩阵,绘制地球后用glPopMatrix恢复矩阵。再设计一个跟地球位置无关的月亮位置公式,来绘制月亮。通常后一种方法比前一种要好,因为浮点的运算是不精确的,即是说我们计算地球本身的位置就是不精确的。拿这个不精确的数去计算月亮的位置,会导致“不精确”的成分累积,过多的“不精确”会造成错误。我们这个小程序没有去考虑这个,但并不是说这个问题不重要。
还有一个需要注意的细节:OpenGL把三维坐标中的物体绘制到二维屏幕,绘制的顺序是按照代码的顺序来进行的。因此后绘制的物体会遮住先绘制的物体,即使后绘制的物体在先绘制的物体的“后面”也是如此。使用深度测试可以解决这一问题。使用的方法是:1、以GL_DEPTH_TEST为参数调用glEnable函数,启动深度测试。2、在必要时(通常是每次绘制画面开始时),清空深度缓冲,即:glClear(GL_DEPTH_BUFFER_BIT);其中,glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT)与glClear(GL_DEPTH_BUFFER_BIT)可以合并写为:
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
且后者的运行速度可能比前者快。
到此为止,我们终于可以得到整个“太阳,地球和月亮”系统的完整代码。


Code:
--------------------------------------------------------------------------------
// 太阳、地球和月亮
// 假设每个月都是30天
// 一年12个月,共是360天
static int day = 200; // day的变化:从0到359
void myDisplay(void)
{
glEnable(GL_DEPTH_TEST);
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluPerspective(75, 1, 1, 400000000);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
gluLookAt(0, -200000000, 200000000, 0, 0, 0, 0, 0, 1);

// 绘制红色的“太阳”
glColor3f(1.0f, 0.0f, 0.0f);
glutSolidSphere(69600000, 20, 20);
// 绘制蓝色的“地球”
glColor3f(0.0f, 0.0f, 1.0f);
glRotatef(day/360.0*360.0, 0.0f, 0.0f, -1.0f);
glTranslatef(150000000, 0.0f, 0.0f);
glutSolidSphere(15945000, 20, 20);
// 绘制黄色的“月亮”
glColor3f(1.0f, 1.0f, 0.0f);
glRotatef(day/30.0*360.0 - day/360.0*360.0, 0.0f, 0.0f, -1.0f);
glTranslatef(38000000, 0.0f, 0.0f);
glutSolidSphere(4345000, 20, 20);

glFlush();
}
--------------------------------------------------------------------------------
试修改day的值,看看画面有何变化。
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小结:本课开始,我们正式进入了三维的OpenGL世界。
OpenGL通过矩阵变换来把三维物体转变为二维图象,进而在屏幕上显示出来。为了指定当前操作的是何种矩阵,我们使用了函数glMatrixMode。
我们可以移动、旋转观察点或者移动、旋转物体,使用的函数是glTranslate*和glRotate*。
我们可以缩放物体,使用的函数是glScale*。
我们可以定义可视空间,这个空间可以是“正投影”的(使用glOrtho或gluOrtho2D),也可以是“透视投影”的(使用glFrustum或gluPerspective)。
我们可以定义绘制到窗口的范围,使用的函数是glViewport。
矩阵有自己的“堆栈”,方便进行保存和恢复。这在绘制复杂图形时很有帮助。使用的函数是glPushMatrix和glPopMatrix。

 
 
 
 

 

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